Geometri med små barn

Ved hjelp av geometri kan vi tolke og reflektere over våre fysiske omgivelser. Likevel har geometri hatt en beskjeden plass i skolematematikken på lavere trinn. Dette har trolig sammenheng med at geometrien lenge var ensbetydende med Euklids geometri. Først på 1920-tallet begynte man å diskutere den didaktiske siden ved Euklids logisk-deduktive metode som gjorde geometri lite egnet på lavere trinn (de Moor 1991). Siden geometri med små barn har en relativt kort historie i skolesammenheng, er det forsket lite på dette emnet sammenlignet med forskning på tallutvikling og aritmetikk (Clements 2003).

Skolegeometrien omfatter i dag studiet av former, kongruens, formlikhet, symmetri og forflytninger, navigasjon, koordinater, kart og måling. En gjennomgang av forskningstradisjoner og resultater innenfor ulike geometriske emnene gis på hver sin måte av Owens & Outhred (2006) og Clemens (2003).

Clemens (2003) hevder at læreplanen er en av grunnene til de dårlige geometrikunnskapene i skolen. Emnene er tilfeldige sammensatt uten noen systematisk progresjon. Lehrer m.fl. prøvde å bøte på dette ved å relatere geometrien til dagligdagse fenomener (Lehrer & Chazan 1998). Det er lett å anvende geometri på den konkrete virkeligheten, og barn kan nærme seg geometriske fenomener intuitivt som en forberedelse til abstrakt tenkning. Gjennom mønster og symmetri kan geometrien få en personlig, estetiske verdi (de Moor 1991).

Teorier om geometrisk tenkning og læring hos barn

Ifølge Piaget starter barns geometriske ideer med forståelse av topologiske forhold (lukkethet, innbyrdes plassering m.m.), fulgt av prosjektiv romforståelse (hvordan ting ser ut fra ulike vinkler m.m.) og til slutt euklidsk forståelse (målbare forhold) (Piaget & Inhelder 1967). Seinere forskning peker i retning av at alle tre former for romforståelse utvikles parallelt (Clements og Battista 1992). Piaget undersøkte kognisjonen hos det individuelle barnet, mens Vygotsky betonte den sosiale kontekstens betydning for læring. I arven fra disse to er det fortsatt en spenning mellom forskere med basis i utviklingsteorier og andre som fokuserer på kontekstuelle sider ved geometrisk begrepsdanning (Owens & Outhred 2006).

En utviklingsteori som har hatt stor innflytelse, er Van Hieles teori om ulike nivåer for geometrisk forståelse. Van Hiele mente at barns forståelse utviklet seg hierarkisk fra visuell gjenkjenning, via analyse, logisk ordning, deduksjon og til stringens. Senere forskning tyder på at barn kan være på flere nivåer samtidig, med et kontinuum mellom nivåene (Guitieérrez, Jaime & Fortuny 1991). På tross av at teorien mangler detaljert beskrivelse av barns tenkning, og at forskere er usikre på hvor godt den fanger opp barnets geometriske begreper, mener flere at den fortsatt er et nyttig rammeverk (Clements 2003).

Geometri er nært knyttet til visuell tenkning. Det kan omfatte mentale bilder, ytre representasjoner, prosesser og visualiseringsevne (Gutiérrez 1996). Alt for 100 år siden pekte Godfrey på betydning av visuelle bilder i geometri. Han var en av reformatorene bak skolegeometrien, understreket betydningen av å utvikle ”det geometriske øyet”, - ”the power of seeing geometrical properties detach themselves from a figure” (Godfrey 1910). Intuitive og deduktive tilnærminger kan ha en gjensidig forsterkende læringseffekt. Det trengs mer forskning for å undersøke om det er mulig, og hvordan man kan trene opp ”det geometriske øyet” (Fujita og Jones 2002). Det fins noen undersøkelser av den visuelle tenkningen til 5-7-åringer der det skisseres ulike visuelle strategier (Owens 1999).

Geometriske former

Når barn lærer om former utvikler de en prototype for enkle former som trekant, kvadrat, rektangel og sirkel (Fox, 2000; Schifter 1999). En slik prototype er ”virkelig” eller ”perfekt” (Hannibal, 1999). Enkelte ganger er en slik prototype forbundet med eksempler fra den reelle verden; en trekant er en hatt og en rektangel er en dør. Elevene bruker prototypen som et referansepunkt for å sammenlikne. For å gjøre slike sammenlikninger blir ofte elevene involvert i orienteringer og rotasjoner til figurer.

Anbefalninger:
- Som lærer bør man være forsiktig med å vise basisformer (som trekant, kvadrat, rektangel og sirkel) kun gjennom eksempler. Elevene trenger å utforske og forklare figurer og ikke bare betrakte bilder. Lærer må hjelpe elevene til å utvikle det matematiske språk omkring egenskaper og beskrivelser til formene.
- Lærer må være presis i sitt språk. Eksempler som at to trekanter som settes sammen gir alltid et kvadrat er ikke alltid riktig.
- Bruk av en rekke gode eksempler og ”moteksempler” er viktig. Materiell, både laget for undervisning og materiell fra dagliglivet, kan føre til begrensede eksempler på former; for eksempel om man bruker pinner av lik lengde for å lage en trekant vil alle trekantene oppfattes som likesidet. Vi må variere størrelser, materiell og farge og i tillegg orientering og dimensjon.

Romforståelse

Romforståelse er nyttig på mange måter i matematikk (Owens, 1990; Wheatley, 1990). Elever arbeider med visuell presentasjon i form av tallinjer og koordinatsystem. Brøk modelleres ofte ved tegninger av områder. En tegning eller figur er ofte nyttig når man løser problemer i matematikken (Wheatley, 1990).

Romforståelse består av to komponenter. En del er visualisering som inkluderer muligheten til å forestille seg hvordan objekter (på bilder) vil forekomme dersom de forandres på noen måte - http://www.fi.uu.nl/toepassingen/00339/toepassing_algemeen.en.html.) En annen faktor er orientering som inkluderer muligheten til å ”oppdage mønstre i elementer (f eks perler på en snor- se denne linken: http://www.fi.uu.nl/toepassingen/03047/toepassing_rekenweb.en.html) og muligheten til å fortsette det mønsteret.

Visuell evne varierer mye blant elever (Hoffer, 1988). Noen av de elever som vi anser som flinke i matematikk trenger ikke gjøre det bra i oppgaver av visuell art som for andre emner. Noen av de elevene vi anser som svake i matematikk kan gjøre det veldig bra i oppgaver med visualisering. Forskning viser også at det er en sterk korrelasjon mellom romforståelse og problemløsningsevne (Tillitson, 1985).

En bør arbeide mye med 3-dimensjonale objekter for å fremme elevers romforståelse. Elever som er vandt til å jobbe mye med konkreter gjør det bedre på oppgaver som har med romforståelse enn de elevene som ikke brukte de i tilsvarende grad (Bishop, 1980).